Question

（1）已知函数f（x）=lnx-

a

x

．若函数f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求实数a的值．
（2）求证：当1＜x＜2时，不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=

x+a

x2

，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数a的值．
（Ⅱ）由已知得

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

?(x+1)lnx-2(x-1)＞0．令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），由此利用导数性质能证明当1＜x＜2时，不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

恒成立．

解答： （1）解：∵f（x）=lnx-

a

x

，∴f′(x)=

x+a

x2

，
①若a≥-1，则x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上为增函数，
∴[f(x)]min=f(1)=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

（舍去）．  …（2分）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上为减函数，
∴[f(x)]min=f(e)=1-

a

e

=

3

2

，∴a=-

e

2

（舍去）． …（4分）
③若-e＜a＜-1，当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，

当-a＜x＜e时，f′(x)＞0

，
∴f(x)在(-a，e)上为增函数，∴a=-

e

，
综上所述，a=-

e

…（6分）
（Ⅱ）证明：∵1＜x＜2，∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

?(x+1)lnx-2(x-1)＞0．
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），（8分）
∴F′（x）=lnx+

x+1

x

-2=lnx+

1

x

-1…（9分）．
∴当x∈[1，2]时，F′（x）≥0，
∴F（x）在（1，2）上单调递增，
∴F（x）＞F（1）=0，
∴（x+1）lnx-2（x-1）＞0．
∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

(1＜x＜2)恒成立．  …（12分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．