Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）证明：数列{c_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足4 h1-14 h2-1…4 hn-1=（a_n+1） bn（n∈N⁺），证明{b_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）将a_n+2=3a_n+1-2a_n化为：

an+2-an+1=2(an+1-an)

，由等比数列的定义进行证明即可；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式得：an+1-an=2n，利用迭代法求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由指数的运算性质化简式子：4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，给n恰当的值列出式子，再作差后得到数列{b_n}的递推公式，由等差中项的性质进行证明．

解答： （I）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，∴

an+2-an+1=2(an+1-an)

，
∵

a1=1，a2=3

，∴

an+2-an+1 an+1-an =2(n∈N*)

，
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列．…（4分）
（II）解：由（I）得an+1-an=2n(n∈N*)，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁

=2n-1+2n-2+…+2+1

=2n-1(n∈N*)

…（8分）
（III）证明：∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，
∴4(b1+b2+…+bn)=2nbn，
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
由②-①得，2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0．③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．④
由④-③得，nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，
∴{b_n}是等差数列．…（14分）

点评：本题考查等比、等差数列的证明方法：定义法、等差中项的性质，等差数列的通项公式，以及指数的额运算性质，考查化简、变形能力，难度较大．