Question

已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，判断和的大小，并说明理由；
(3)求证：当时，关于的方程：在区间上总有两个不同的解．

Answer 1

（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）当时，．
（3）构造函数，然后借助于在区间、分别存在零点，又由二次函数的单调性可知最多在两个零点，进而得到结论。

试题分析：（1）
当时可解得，或
当时可解得
所以函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为                         3分
（2）当时，因为在单调递增，所以
当时，因为在单减，在单增，所能取得的最小值为，，，，所以当时，．
综上可知：当时，．　                  7分
（3）即
考虑函数，
，，

所以在区间、分别存在零点，又由二次函数的单调性可知：最多存在两个零点，所以关于的方程：在区间上总有两个不同的解                                  10分
点评：考查了导数在研究函数中的运用，以及利用函数与方程的思想的综合运用，属于难度题。