Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，若椭圆C上存在关于直线l：y=4x+m对称的不同两点，试确定m的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分，从而可得直线AB的斜率k=-

1

4

，直线AB与椭圆有两个交点，且AB的中点M在直线y=4x+m，可设直线AB 的方程为y=-

1

4

x+b，联立方程

y=- 1 4 x+b x2 4 + y2 3 =1

，整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0可求中点M，由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可求b的范围，由中点M在直线y=4x+m可得m，b 的关系，从而可求m的范围

解答： 解：设椭圆上关于直线y=4x+m对称的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分．
可得直线AB的斜率k=-

1

4

，直线AB与椭圆有两个交点，且AB的中点M（x₀，y₀）在直线y=4x+m，
故可设直线AB 的方程为y=-

1

4

x+b，
联系方程

y=- 1 4 x+b x2 4 + y2 3 =1

，
整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0，
所以x1+x2=

8b

13

，y1+y2=-

1

4

（x₁+x₂）+2b=

24b

13

，
由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可得，-

13

2

＜b＜

13

2

所以x 0=

4b

13

，y0=

12b

13

代入直线y=4x+m可得m=-

4b

13

所以，-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是灵活应用已知中的对称性设出直线方程，且由中点在y=4x+m上建立m，b之间的关系，还要注意方程的根与系数的关系的应用．