Question

设定义在R上的函数f（x）=

1 |x-2|   (x≠2) 1   (x=2)

若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3个不同的实根x₁，x₂，x₃满足x₁＜x₂＜x₃，下列说法正确的是

 

（填序号）
①x₁²+x₂²+x₃²=14；
②二次函数g（t）=t²+at+b的图象一定过某个定点；
③a²-4b=0；
④x₁，x₂，x₃一定成等差数列；
⑤x₁，x₂，x₃可能成等比数列．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,数形结合法

分析：关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3个解，则必然含有x=1这样一个解，另外2个则在分段函数的另一段里面，刚好它是个绝对值函数，可以提供2个不同自变量时为同一值．既然含有x=1的解，此时f（1）=1，我们知道另外2个值也是1的肯定也能满足方程，所以关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3个不同实数解时，f（x）=1，从而可得结论．

解答： 解：分段函数的图象如图所示
由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．
∵

1

|x-2|

=1时，x=1或3
∴关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有3个不同实数解时，
解分别是1，2，3，且x₁=1，x₂=2，x₃=3，
∴x₁²+x₂²+x₃²=1+4+9=14，x₁+x₃=4=2x₂，
∵f（x）=1，∴1+a+b=0，
∴二次函数g（t）=t²+at+b的图象一定过某个定点（1，0）．
∵a²-4b=a²+4a+4=（a+2）²≥0
∴正确的命题是①②③④
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．