Question

12．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-kx}{x-1}$为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若a＞b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质建立方程关系即可求常数k的值；
（2）根据复合函数单调性的性质判断函数的单调性进行比较大小即可．

解答 解：（1）∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-kx}{x-1}$为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-kx}{x-1}$+log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+kx}{-x-1}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-kx}{x-1}$•$\frac{1+kx}{-x-1}$）=0，
即$\frac{1-kx}{x-1}$•$\frac{1+kx}{-x-1}$=1，即1-k²x²=-x²+1，
即k²=1，则k=1或k=-1，
当k=1时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-x}{x-1}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-1）无意义，则k=1不成立，
当k=-1时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）为奇函数，满足条件．
故k=-1；
（2）y=$\frac{1+x}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，
则函数在（1，+∞）上为减函数，
∵y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x为减函数，
∴函数f（x）在（1，+∞）为增函数，
若a＞b＞1，
则f（a）＞f（b）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和复合函数单调性的关系是解决本题的关键．