Question

下面的四个不等式：①a²+b²+c²≥ab+bc+ca；②a（1-a）≤

1

4

；③

a

b

+

b

a

≥2；④（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²．其中一定成立的序号依次是

 

．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展开可即可判断出正误；
②a（1-a）≤(

a+1-a

2

)2=

1

4

，即可判断出正误；
③当ab＜时，不成立；
④作差（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，即可判断出．

解答： 解：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展开可得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号，正确；
②a（1-a）≤(

a+1-a

2

)2=

1

4

，当且仅当a=

1

2

时取等号，正确；
③

a

b

+

b

a

≥2，当ab＜时，不成立，因此不正确；
④∵（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，∴（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²，正确．
综上可得：一定成立的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了基本不等式的性质及其应用、“作差法”比较数的大小，考查了计算能力，属于基础题．