Question

若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=xlnx，则不等式f（x）＜-e的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，对x＞0时的解析式求出f′（x），并判断出函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数f（x）的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集．

解答： 解：设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=xlnx，∴f（-x）=-xln（-x），
∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（x）=xln（-x），
则f(x)=

xlnx，x＞0 xln(-x)，x＜0

，
当x＞0时，f′（x）=lnx+x×

1

x

=lnx+1，
令f′（x）=0得，x=

1

e

，
当0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0；当x＞

1

e

时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，

1

e

）上递减，在（

1

e

，+∞）上递增，
当x=

1

e

时取到极小值，f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

＞-e，
再由函数f（x）是奇函数，画出函数f（x）的图象如图：
∵当x＞0时，当x=

1

e

时取到极小值，
f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

＞-e，
∴不等式f（x）＜-e在（0，+∞）上无解，在（-∞，0）上有解，
∵f（-e）=（-e）ln[-（-e）]=-e，
∴不等式f（x）＜-e解集是：
（-∞，-e），
故答案为：（-∞，-e）．

点评：本题考查函数的奇偶性的综合运用，以及导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思想．