Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线l₁与椭圆C交于P，Q两点，且在直线l₂：x-y+2$\sqrt{6}$=0上存在点M，使得△MPQ为等边三角形，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆的离心率为e═$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．即a²=4b²，将点M（2，1），代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2$\sqrt{6}$），满足△MPQ为等边三角形，求直线l₁的方程y=0，当k≠0时，设直线l₁的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得丨PO丨，则垂直平分线的方程y=-$\frac{1}{k}$x，与直线l₂：x-y+2$\sqrt{6}$=0上存在点M坐标，由等边三角形的性质可知：丨MO丨=$\sqrt{3}$丨PO丨，代入即可求得k的值，求得直线l₁的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率为e═$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．即a²=4b²，
由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），代入可知：$\frac{4}{4{b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
解得：b²=2，则a²=8，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）显然，直线l的斜率k存在，设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），
（1）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2$\sqrt{6}$），
由丨PO丨=2$\sqrt{2}$，丨MO丨=2$\sqrt{6}$，
∴∠MPO=60°，则△MPQ为等边三角形，
此时直线l₁的方程为y=0，
当k≠0时，设直线l₁的方程为y=kx，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²=8，解得：丨x₀丨=$\sqrt{\frac{8}{1+4{k}^{2}}}$，则丨PO丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8}{1+4{k}^{2}}}$，
则PQ的垂直平分线为y=-$\frac{1}{k}$x，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2\sqrt{6}=0}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{6}k}{k+1}}\\{y=\frac{2\sqrt{6}}{k+1}}\end{array}\right.$，则M（-$\frac{2\sqrt{6}k}{k+1}$，$\frac{2\sqrt{6}}{k+1}$），
∴丨MO丨=$\sqrt{\frac{24（{k}^{2}+1）}{（k+1）^{2}}}$，
∵△MPQ为等边三角形，则丨MO丨=$\sqrt{3}$丨PO丨，
∴$\sqrt{\frac{24（{k}^{2}+1）}{（k+1）^{2}}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8}{1+4{k}^{2}}}$，解得：k=0（舍去），k=$\frac{2}{3}$，
∴直线l₁的方程为y=$\frac{2}{3}$x，
综上可知：直线l₁的方程为y=0或y=$\frac{2}{3}$x．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查等边三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．