Question

19．函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3xf（x）+x²f（x）＜0，则不等式（x+2016）³f（x+2016）+27f（-3）＞0的解集（　　）

• A． （-2018，-2016）
• B． （-∞，-2016）
• C． （-2019，-2016）
• D． （-∞，-2019）

Answer 1

分析 先构造函数g（x）=x³f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g（x）在（-∞，0）为增函数，由（x+2016）³f（x+2016）+274f（-3）＞0得到g（x+2016）＞g（-3）根据函数的单调性即可求出答案．

解答 解：令g（x）=x³f（x），
∴g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x），
∵3f（x）+x²f′（x）＜0，
x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）为增函数，
∵（x+2016）³f（x+2016）+27f（-3）＞0，
∴（x+2016）³f（x+2016）＞（-3）³f（-3），
即g（x+2016）＞g（-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2016＜0}\\{x+2016＞-3}\end{array}\right.$，
解得：-2019＜x＜-2016，
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．