Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2C=-

1

4

（C为钝角），a=2，

sin(A+B)

sinA

=2．
（1）求cosC的值；
（2）求b的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，根据C为钝角，求出cosC的值即可；
（2）利用正弦定理列出关系式，将a，已知等式变形后代入求出c的值，再由cosC的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵cos2C=2cos²C-1=-

1

4

，
∴cos²C=

3

8

，
∵

π

2

＜C＜π，
∴cosC=-

6

4

；
（2）∵a=2，

sin(A+B)

sinA

=

sinC

sinA

=2，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得：c=

asinC

sinA

=4，
∵cosC=-

6

4

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即b²+

6

b-12=0，
解得：b=

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．