Question

已知函数，．

（Ⅰ）若直线恰好为曲线的切线时，求实数的值；

（Ⅱ）当，时（其中无理数），恒成立，试确定实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）实数的取值范围是[．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）切点处的导函数值，为切线的斜率.因此，设切点为，可得，即，

由（1）解得或.分别代人（2）讨论得到.

（Ⅱ）由得：    （4），

（Ⅱ）由得：    （4），

由知：在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以, 的最小值为，

所以不等式（4）可化为：；   （8分）

设，，，

当，时，，所以；

当，1）时，，所以；

所以在上单调递减，在[1，]上单调递增,

所以，又，，

，又，所以，

所以，，

所以，当，时，恒成立时实数的取值范围是[．   （13分）

备注：解答题的其它解法可相应给分。

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，导数的几何意义.