Question

17．已知数列{a_n}满足：a₁=1，na_n+1-（n+1）a_n=1（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}•{（\frac{8}{9}）^n}（n∈{N_+}）$，求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．采用累加法即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知b_n=n×（$\frac{8}{9}$）ⁿ，n∈N₊，根据导数与函数单调性的关系，即可求得数列{b_n}的最大项．

解答 解：（1）已知式可化为$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n}}{n-2}$=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{2}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{2}$，
以上各式相加：$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{n}$，
整理得：a_n=2n-1，
当n=1时，显然成立，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；（n∈N₊）
（2）由${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}•{（\frac{8}{9}）^n}（n∈{N_+}）$，则b_n=n×（$\frac{8}{9}$）ⁿ，n∈N₊，
设g（x）=x（$\frac{8}{9}$）^x，x＞0，求导g′（x）=（$\frac{8}{9}$）^x+x（$\frac{8}{9}$）^xln（$\frac{8}{9}$），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$，8＜-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$＜9，
由g（x）在（0，-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$）单调递增，在（-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$，+∞）单调递减，
且${b_8}={b_9}=\frac{8^9}{9^8}$，
∴数列{b_n}的单调性得最大项为${b_8}={b_9}=\frac{8^9}{9^8}$…（12分）．

点评 本题考查数列与导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，数列通项公式的求法，考查“累加法”的应用，考查计算能力，属于中档题．