Question

20．在已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R$（{\begin{array}{l}{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}\end{array}}）$的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为$M（{\begin{array}{l}{\frac{2π}{3}，-2}\end{array}}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当$x∈[{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}\end{array}}]$时，求f（x）的最值以及取得最值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由图象的顶点坐标求出A、由周期求得ω，根据五点法作图求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得当$x∈[{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}\end{array}}]$时，求f（x）的最值以及取得最值时x的值．

解答 解：（1）由最低点为$M（{\begin{array}{l}{\frac{2π}{3}，-2}\end{array}}）$，可得A=2，根据五点法作图可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$．
由x轴上相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）当$x∈[{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}\end{array}}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域为[-1，2]．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、定义域和值域，正弦函数的图象特征，属于基础题．