Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与y轴的交点为（0，$\sqrt{3}$），它的一个对称中心是M（$\frac{π}{3}$，0），点M与最近的一条对称轴的距离是$\frac{π}{4}$．
（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数取得最大值时x的取值集合；
（3）当x∈（0，π）时，求此函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的周期性、图象的对称性求出ω、φ的值，由特殊点的坐标求出A的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的最大值，求得函数取得最大值时x的取值集合．
（3）利用正弦函数的调增区间，求得当x∈（0，π）时，此函数的单调递增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象
的一个对称中心是M（$\frac{π}{3}$，0），点M与最近的一条对称轴的距离是$\frac{π}{4}$，故$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{3}+φ=kπ，k∈Z}\\{\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}=\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，
求得ω=2，φ=$\frac{π}{3}$．
再根据函数的图象与y轴的交点为（0，$\sqrt{3}$），可得Asin（ω•0+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴A=2，
函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，故函数取得最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为[2kπ-$\frac{5π}{12}$，2kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
再结合x∈（0，π），可得函数的增区间为（0，$\frac{π}{12}$]、[$\frac{7π}{12}$，π）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的周期性、图象的对称性求出ω、φ的值，由特殊点的坐标求出A的值，正弦函数的最大值及单调增区间，属于中档题．