Question

某港口的水深（米）是时间（0≤≤24，单位：小时）的函数，下面是不同时间的水深数据：

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像．

（1）试根据以上数据，求出的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4．5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间?（忽略进出港所用的时间）?

Answer 1

⑴⑵船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时

（1）从拟合曲线可知：函数在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此．
　　又当时，；时，；故
于是所求的函数表达式为了．
（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4．5米,故在船舶航行时水深应大于等于7＋4．5＝11．5（米）．
令
故
取＝0，则1≤≤5；取＝1，则13≤≤17；而取＝2时，则25≤≤29（不合题意）．
从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．