Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，则异面直线A₁B与AC所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$

Answer 1

分析 由AC∥A₁C₁，知∠C₁A₁B是异面直线A₁B与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A₁B与AC所成角的余弦值．

解答 解：连结BC₁，∵AC∥A₁C₁，
∴∠C₁A₁B是异面直线A₁B与AC所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，${A}_{1}B=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$，BC₁=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，A₁C₁=1，
∴cos∠C₁A₁B=$\frac{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}+{A}_{1}{B}^{2}-B{{C}_{1}}^{2}}{2×{A}_{1}{C}_{1}×{A}_{1}B}$=$\frac{1+6-5}{2×1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴异面直线A₁B与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．