题目内容

设a，b∈（0，+∞），且a≠b，证明：a3+b3＞a2b+ab2．
考点：不等式的证明,综合法与分析法(选修）
专题：证明题,综合法
分析：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系
解答： 证明：（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=（a+b）（a-b）2
又∵a，b∈（0，+∞），且a≠b，∴a+b＞0，而（a-b）2＞0．
∴（a+b）（a-b）2＞0．
故（a3+b3）-（a2b+ab2）＞0，
即a3+b3＞a2b+ab2．
点评：用作差的方法比较两个式子的大小，注意将差化为因式积的形式，以便于判断符号．
练习册系列答案
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已知i是虚数单位，复数z满足i3•z=2，则z的值为（　　）
A、-1B、2iC、1D、-2i
设不等式4≤2x≤16的解集为A，集合B={x|a≤x≤a+4，a∈R}．
（1）若a=-1，求A∩∁RB．
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解下列不等式：
（1）|
3x-2
-3|＞1
（2）|2x-1|+|3x-2|≥5．
已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|
（2）若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求实数λ的值；
（3）设g（x）=sin（x+
π
3
），若方程3[g（x）]2-g（x）+m=0在x∈（-
π
3
，
2π
3
）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=x2+ax+3-a，a∈R．
（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数；
（2）当0≤x≤2时，函数y=f（x）的最大值是关于a的函数m（a）．求m（a）；
（3）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[1，2]，恒有|f（x）|≤4成立．
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}未知数：
（1）a1=
5
6
，d=-
1
6
，Sn=-5，求n及an； 
（2）d=2，n=15，an=-10，求a1及Sn．
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱DD1、CD、AD的中点．
（1）求证：平面MNP∥平面A1C1B．
（2）将正方体沿平面A1C1B截出一个三棱锥B1-A1C1B，求次棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．
（3）求直线B1D与直线MN所成的角．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为2
3
，且经过点（2，0），直线y=kx+m与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设△AOB面积为S，|AB|=2，S=1，求直线AB的方程．

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