Question

【题目】已知函数．

（1）若，求函数的最大值；

（2）令，讨论函数的单调区间；

（3）若，正实数满足，证明：

Answer 1

【答案】（1）的最大值为；（2）当时，函数的递增区间是，无递减区间，当时，函数的递增区间是，递减区间是；（3）证明见解析.

【解析】

试题对于问题（１）根据条件先求出的值，再对求导，并判断其单调性，进而得出函数的最大值；对于问题（2），首先对进行求导，然后再对参数进行分类讨论，即可得出不同情况下的单调区间；对于问题（3）可通过构造函数并结合函数的单调性将问题进行等价转化，从而间接证明所需证明的结论.

试题解析：（１）因为，所以，此时，，

由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为

（2），

所以．

当时，因为，所以．

所以在上是递增函数，

当时，，

令，得，所以当时，，当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数．

综上，当时，函数的递增区间是，无递减区间；

当时，函数的递增区间是，递减区间是

（3）当，．

由，即，

从而

令，则由得，．

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，

所以，因为，

因此成立