Question

【题目】已知定义在上的函数，其中，e为自然对数的底数.

（1）求证：有且只有一个极小值点；

（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）知，递增，由和，根据零点存在定理则可证.

（2）由探求出，转化为证明当，在上恒成立，令

进一步转化为，再证明该不等式右边恒大于等于0即可.

（1）证明：由于，，

则在上单调递增.

令，则，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

则，即.

由于，，

故，使得，且当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

因此在有且只有一个极小值点，无极大值点.

（2）解：由于不等式在上恒成立，

（i）必要性，当时，不等式成立，即，

令，，

由于，则在上单调递增，

又由于，则的解为，

（ii）充分性，下面证明当时，在上恒成立，

令，

由于，，，

，

则，

令，则，

故，在上单调递增.

由于，则当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故，即恒成立，

因此，当时，在上恒成立.