Question

【题目】已知椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）根据椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，以及直线与圆相切.，可得求解即可.

（2）由题意知，设：，，与椭圆方程联立，分别求得点M，N的坐标，写出MN的直线方程化简即可.，

（1）由题意可得：，

即，解得，

，

∴椭圆的方程为：

（2）由题意知，设：，.

由消去得：，

解得：或（舍去），

，同理可得：.

i：当时，直线斜率存在，

，

所以

即，

∴直线过定点.

ii：当时，直线斜率不存在，

直线方程为：，也过定点，

综上所述：直线过定点.