Question

12．定义点P（x₀，y₀）到直线l：ax+by+c=0（a²+b²≠0）的有向距离为：$d=\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$．已知点P₁、P₂到直线l的有向距离分别是d₁、d₂．以下命题正确的是（　　）

• A． 若d₁=d₂=1，则直线P₁P₂与直线l平行
• B． 若d₁=1，d₂=-1，则直线P₁P₂与直线l垂直
• C． 若d₁+d₂=0，则直线P₁P₂与直线l垂直
• D． 若d₁•d₂≤0，则直线P₁P₂与直线l相交

Answer 1

分析 根据有向距离的定义，及点P（x₀，y₀）与ax₁+by₁+c的符号，分别对直线P₁P₂与直线l的位置关系进行判断．

解答 解：对于A，若d₁=d₂=1，则ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，直线P₁P₂与直线l平行，∴正确．
对于B，点P₁、P₂在直线l的两侧且到直线l的距离相等，∴错误．
对于C，由A知，若d₁=d₂=0时，满足d₁+d₂=0，但此时ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴C错误；
对于D，若d₁•d₂≤0，即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）≤0，
∴点P₁，P₂分别位于直线l的两侧或直线上，∴直线P₁P₂与直线l相交或重合，∴不正确．
故选：A．

点评 本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．