题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=2
，cosA=
．
（Ⅰ）若B=60°，求b的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求b+c的值．
| 3 |
| 4 |
| 5 |
（Ⅰ）若B=60°，求b的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求b+c的值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）由cosA的值求出sinA的值，再由a，sinB的值，利用正弦定理即可求出求b的值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积相等求出bc的值，由余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，并利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出b+c的值即可．
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积相等求出bc的值，由余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，并利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出b+c的值即可．
解答：
解：（Ⅰ）∵cosA=
，A为三角形内角，
∴sinA=
=
，
∵a=2
，sinB=
，
∴由正弦定理
=
得：b=
=
=5；
（Ⅱ）∵S△ABC=
bcsinA=
bc=3，∴bc=10，
∵cosA=
，a=2
，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-16=（b+c）2-16-2bc，
即12=（b+c）2-16-20，
整理得：（b+c）2=48，
则b+c=4
．
| 4 |
| 5 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| 3 |
| 5 |
∵a=2
| 3 |
| ||
| 2 |
∴由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| asinB |
| sinA |
2
| ||||||
|
（Ⅱ）∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
∵cosA=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-16=（b+c）2-16-2bc，
即12=（b+c）2-16-20，
整理得：（b+c）2=48，
则b+c=4
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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