Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2AD，若平面PCD与平面PAB所成二面角的余弦值为

6

3

，求

PA

AD

的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：空间角,空间向量及应用

分析：如图所示，建立空间直角坐标系．设PA=t＞0，AD=1，则AB=BC=2．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），P（0，0，t）．则

CD

=（-2，-1，0），

PD

=（0，1，-t）．求出两个平面的法向量的夹角即可得出．

解答： 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
设PA=t＞0，AD=1，则AB=BC=2．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），P（0，0，t）．
则

CD

=（-2，-1，0），

PD

=（0，1，-t）．
设平面PCD的法向量为

m

=（x，y，z）．则

m • CD =-2x-y=0 m • PD =y-tz=0

，令y=2，则x=-1，z=

2

t

．
∴

m

=(-1，2，

2

t

)．
取平面PAB的法向量

n

=(0，1，0)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2

1+22+( 2 t )2

=

2

5+ 4 t2

．
∴

2

5+ 4 t2

=

6

3

，解得t=2．
∴

PA

AD

=2．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角的方法，属于难题．