Question

函数f（x）=sinx（x＞0）的零点按由小到大的顺序排成数列a_n
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设b_n=3ⁿa_n，若数列b_n的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）求出函数的零点，得到数列{a_n}是等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=3ⁿa_n，其中n∈N^*的通项公式，利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由y=sinx=0得，x=nπ，即x=nπ，n∈N^•，
它在（0，+∞）内的全部零点构成以π为首项，π为公差的等差数列，
则数列{a_n}的通项公式a_n=nπ．
（2）∵b_n=3ⁿa_n=nπ•3ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和T_n=π（1•3+2•3²+3•3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ）①
则3T_n=π（1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹）②
①-②得，-2T_n=π（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹）=π（

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹），
则T_n=π（

2n-1

4

•3n+1+

3

4

）．

点评：本题主要考查等比数列的应用及数列求和，根据错位相减法是解决本题的关键．