Question

8．如图，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，AB的中点为O，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，D为线段OC的中点，E为母线PA上一点，且AE=3EP．
（1）证明：ED∥平面PCB；
（2）若二面角A-OP-C的大小为90°，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AD并延长交BC与点F，取AF中点H，连接OH，PF，由O，H分别是AB，AF的中点，可得OH∥CF，可得ED∥PF，再利用线面平行的判定定理即可证明：ED∥平面PCB．
（2）如图，以O为坐标原点，OA为x轴正方向，建立空间直角坐标系，设OA=1，设平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．同理可得平面PCB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：如图，连接AD并延长交BC与点F，取AF中点H，连接OH，PF，
∵O，H分别是AB，AF的中点，
∴OH∥CF，
又∵D为OC中点，
∴$FD=DH=\frac{1}{4}FA$，又$PE=\frac{1}{4}PA$，
∴ED∥PF，
而ED在平面PBC外，PF在平面PBC内，
故ED∥平面PCB．
（2）解：如图，以O为坐标原点，OA为x轴正方向，建立空间直角坐标系，
设OA=1，则各点坐标分别是A（1，0，0），B（-1，0，0），P（0，0，1），
C（0，1，0），则$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0）．设平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-{z_1}=0}\\{-{x_1}+{y_1}=0}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
同理可得平面PCB的一个法向量为
$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
故二面角A-PC-B的余弦值为$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行的判定定理、法向量的应用、向量夹角与数量积的关系、平行线的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．