Question

7．对于下列命题：其中所有真命题的序号是①②④．
①函数f（x）=ax+1-2a在区间（0，1）内有零点的充分不必要条件是$\frac{1}{2}＜a＜\frac{2}{3}$；
②已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“a＜2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要条件；
④“0＜m＜1”是“方程mx²+（m-1）y²=1表示双曲线”的充分必要条件．
⑤$cos{20°}•cos{40°}•cos{80°}=\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 根据函数零点的存在定理，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②③④，利用二倍角公式，可判断⑤．

解答 解：a=0时，函数无零点，
a≠0时，函数f（x）=ax+1-2a在区间（0，1）内有零点，
即f（0）f（1）＜0，即（1-2a）（1-a）＜0，
解得：$\frac{1}{2}＜a＜1$，
故①函数f（x）=ax+1-2a在区间（0，1）内有零点的充分不必要条件是$\frac{1}{2}＜a＜\frac{2}{3}$，正确；
已知E，F，G，H是空间四点，
若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH异面，
故②命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件，正确；
|x+1|+|x-1|的最小值为2，故“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要条件；
故③错误；
④“方程mx²+（m-1）y²=1表示双曲线”即m（m-1）＜0，
解得：0＜m＜1
故“0＜m＜1”是“方程mx²+（m-1）y²=1表示双曲线”的充要条件．
故④正确；
cos20°•cos40°•cos80°=$\frac{sin20°•cos20°•cos40°•cos80°}{sin20°}$=$\frac{\frac{1}{2}sin40°•cos40°•cos80°}{sin20°}$=$\frac{\frac{1}{4}sin80°•cos80°}{sin20°}$=$\frac{\frac{1}{8}sin160°}{sin20°}$=$\frac{1}{8}$，故⑤错误．
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，三角函数，函数的零点，难度中档．