Question

（本题满分10分）已知函数图象上的点处的切线方程为.（I）若函数在时有极值，求的表达式；
（Ⅱ）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）实数的取值范围为.    

本试题主要是考查了运用导数的工具，来求解函数的极值和函数的单调性问题，以及导数几何意义的综合运用。
根据给定的曲线的切线方程得到切点坐标和极值点处导数为零得到相应的关系式进行分析得到解析式，再利用导数的符号判定单调性，进而得到范围。
解：，
因为函数在处的切线斜率为-3，
所以，即， ①
又得.  ②
（Ⅰ）函数在时有极值，
所以，   ③   
联立①②③解方程组，得，
所以.            ………………………6分
（Ⅱ）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，
则 
解得，                  
所以实数的取值范围为.     ………………………10分