Question

12．已知点A（3，4），
（1）经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0；
（2）经过点A，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为x-y+1=0或x+y-7=0；
（3）经过点A，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为x+2y-11=0或4x-3y=0．

Answer 1

分析 （1）分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx；
（2）由题意可设直线方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，且|a|=|b|，然后把（3，4）代入直线方程可求a，b，进而可求直线方程即可；
（3）当直线过原点时，直线方程为y=$\frac{4}{3}$x，直线不经过原点时，设直线方程为$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，把点（3，4）代入即可得出．

解答 解：（1）①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把（3，4）代入所设的方程得：a=7，则所求直线的方程为x+y=7即x+y-7=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（3，4）代入所求的方程得：k=$\frac{4}{3}$，则所求直线的方程为y=$\frac{4}{3}$x即4x-3y=0，
综上，所求直线的方程为：4x-3y=0或x+y-7=0；
故答案为：4x-3y=0或x+y-7=0；
（2）∵所求直线过点A（3，4），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴可设直线的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，且|a|=|b|，
把（3，4）代入直线方程可得$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$=1且|a|=|b|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=7}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0，
故答案为：x-y+1=0或x+y-7=0；
（3）当直线过原点时，直线方程为y=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y=0，
直线不经过原点时，设直线方程为$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
把点（3，4）代入可得3+8=2a，解得a=$\frac{11}{2}$，
∴直线的方程为x+2y-11=0．
综上可得：直线的方程为x+2y-11=0或4x-3y=0．
故答案为：x+2y-11=0或4x-3y=0．

点评 本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是截距式的灵活应用．