Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=-2，a_n+1=2a_n+4．
（ I）求证{a_n+4}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（ II）求数列{a_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+1=2a_n+4，变形为a_n+1+4=2（a_n+4），利用等比数列的通项公式即可得出．
（ II）由（Ⅰ）可知，${a_n}={2^n}-4$，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）证明：a_n+1=2a_n+4，变形为a_n+1+4=2（a_n+4）．--------------（2分）
又∵a₁=-2，∴a₁+4=2∴数列{a_n+4}为以2为首项，2为公比的等比数列--------------（4分）∴${a_n}+4={2^n}，{a_n}={2^n}-4$-------------（6分）
（ II）由（Ⅰ）可知，${a_n}={2^n}-4$
∴S_n=2+2²+…+2ⁿ-4n，------------------------（9分）
=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}-4n={2^{n+1}}-4n-2$------------------------（12分）

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．