Question

15．已知f（x）=log₂x-log_x2（0＜x＜1），数列{a_n}满足f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n（n∈N^*），则数列{a_n}（　　）

• A． 有最大项无最小项
• B． 有最小项无最大项
• C． 既有最大项又有最小项
• D． 无最大项也无最小项

Answer 1

分析 利用对数的运算性质化简f（x），代入化简f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n，由一元二次方程的解法和0＜2^a_n＜1，求出a_n，化简a_n+1判断出a_n+1＞a_n，可得{a_n}单调递增，由单调性可得答案．

解答 解：由题意得，f（x）=log₂x-log_x2=log₂x-$\frac{1}{lo{g}_{2}^{x}}$，
∴f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=${log}_{2}^{{2}^{{a}_{n}}}-\frac{1}{lo{g}_{2}^{{2}^{{a}_{n}}}}$=2n，
则${a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}=2n$，即a_n²-2na_n-1=0，解得a_n=$n±\sqrt{{n}^{2}+1}$，
又0＜2^a_n＜1，则a_n＜0，即a_n=$n-\sqrt{{n}^{2}+1}$=$-\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
∴a_n+1=$-\frac{1}{n+1+\sqrt{（{n+1）}^{2}+1}}$＞a_n，
即a_n+1＞a_n，则{a_n}单调递增，
∴数列{a_n}没有最大项但有最小项，
故选B．

点评 本题考查了数列的通项公式、单调性、对数的运算性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．