Question

4．已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=±x，那么该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 由双曲线的渐近线的方程为y=±x，可知双曲线为等轴双曲线，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，根据顶点为（2，0），即可求得a和b的值，求得双曲线方程．

解答 解：双曲线的渐近线的方程为y=±x，
∴双曲线为等轴双曲线，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
∵双曲线的一个顶点为（2，0），c²=a²+b²，
∴a=b=2，
∴双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程与双曲线方程的关系，属于基础题．