Question

4．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是a，用向量法证明AC⊥BD₁．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系，只有证明$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0即可．

解答 证明：如图所示，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D₁（0，0，a），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-a，a，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-a，-a，a），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=a²-a²=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，
∴AC⊥BD₁．

点评 本题考查了向量数量积与向量垂直的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．