Question

已知函数f（x）=sin²（ωx+π）+

3

sinωx•sin（ωx+

5π

2

）（ω＞0）的最小正周期为2π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，

4π

3

]上的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而利用周期公式求得ω．
（2）根据（1）可求的函数解析式，进而利用x的范围和三角函数图象的性质求得函数在给定区间上的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=sin²（ωx+π）+

3

sinωx•sin（ωx+

5π

2

）
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

∵T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

∵x∈[0，

4π

3

]，
∴-

π

6

≤x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（x-

π

6

）≤1
∴0≤sin（x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

即函数f（x）在区间[0，

4π

3

]上的取值范围为[0，

3

2

]

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象和性质．要求学生对三角函数的公式及逆用公式，变形公式熟练记忆．