Question

18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上为减函数，f（$\frac{1}{2}$）=0，则不等式f（log₄x）＞0的解集为（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得函数在（-∞，0]上为减函数，在（0，+∞）上单调递增，且 f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=0，再根据函数f（x）的单调性示意图可得不等式f（log₄x）＞0，即得log₄x＞$\frac{1}{2}$，或log₄x＜-$\frac{1}{2}$，由此求得x的范围．

解答 解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上为减函数，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵f（$\frac{1}{2}$）=0，∴f（-$\frac{1}{2}$）=0，
故函数f（x）的单调性示意图如图所示：
则由不等式f（log₄x）＞0可得log₄x＞$\frac{1}{2}$，或log₄x＜-$\frac{1}{2}$，
求得x＞2，或 0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集为（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

点评 本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题．