Question

7．已知双曲线的渐进线方程为y=±2x，且过点（-3，$4\sqrt{2}$）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线4x-y-6=0与双曲线相交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设所求双曲线的方程为：${x^2}-\frac{y^2}{4}=λ（{λ≠0}）$，将点（-3，$4\sqrt{2}$），代入抛物线方程，求得λ的值，求得双曲线方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，即可求出弦|AB|的值．．

解答 解：（1）由双曲线的渐进线方程为y=±2x，则设所求双曲线的方程为：${x^2}-\frac{y^2}{4}=λ（{λ≠0}）$，
把$（{-3，4\sqrt{2}}）$代入方程，整理得：$9-\frac{32}{4}=λ$，
解得：λ=1，
∵双曲线的方程为：${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$；
（2）由题意可知：设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-6=0}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$整理得：3x²-12x+10=0，
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=4，{x_1}{x_2}=\frac{10}{3}$，
由弦长公式可知：$|{AB}|=\sqrt{（{1+{k^2}}）[{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}=\sqrt{（{1+16}）（{{4^2}-4×\frac{10}{3}}）}=\frac{{2\sqrt{102}}}{3}$，
∴|AB|的值$\frac{2\sqrt{102}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和几何性质，考查直线和双曲线的位置关系，韦达定理及弦长公式的应用，属于中档题．