Question

3．已知函数f（x）=ax-|x+1|（x∈R）．
（1）设函数g（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式；
（2）若函数f（x）有最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质得出g（0）=0，再设x＜0，根据奇函数的性质求解析式；
（2）要使函数f（x）有最大值，需$\left\{{\begin{array}{l}{a-1≤0，}&{\;}\\{a+1≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$解出即可．

解答 解：（1）∵g（x）为定义在R上的奇函数，
∴g（-0）=-g（0），∴g（0）=0．
当x＞0时，g（x）=f（x）=（a-1）x-1
设x＜0，则-x＞0．
∴g（x）=-g（-x）=-（a-1）（-x）+1=（a-1）x+1，
∴$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，}&{x＞0}&{\;}\\{0，}&{x=0}&{\;}\\{（a-1）x+1，}&{x＜0}&{\;}\end{array}}\right.$；
（2）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，}&{x≥-1}\\{（a+1）x+1，}&{x＜-1}\end{array}}\right.$注：范围中的“=”两段中均可以，但不能漏掉！
要使函数f（x）有最大值，需$\left\{{\begin{array}{l}{a-1≤0，}&{\;}\\{a+1≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$
∴-1≤a≤1．
即当a∈[-1，1]时，f（x）有最大值．
故a的取值范围为[-1，1]．

点评 本题主要考查函数的奇偶性，解析式的求法，函数的最值，属于中档题．