Question

设的最大值为M。
（1）当时，求M的值。
（2）当取遍所有实数时，求M的最小值；
（以下结论可供参考：对于，当同号时取等号）
（3）对于第（2）小题中的，设数列满足，求证：。

Answer 1

（1）   （2）  （3）见解析

（1）求导可得

当时取等号     3分
（2）
   5分

=6，
。
由（1）可知，当时，                 。
      7分
（3）证法一：（局部放缩法）因为，
所以
由于
   9分
所以不等式左边


    11分
下证
，
显然。即证。    12分
证法二：（数学归纳法）即证：当

下用数学归纳法证明：
①当时，左边，显然；
②假设时命题成立，即
  8分
当时，
左边
（）

均值不等式

                   

        11分
下证：（*）
（*），
显然。
所以命题对时成立。
综上①②知不等式对一切成立。     12分