Question

已知关于x的不等式|2m-1|≤1的整数解有且仅有一个值1．
（1）求整数m的值；
（2）已知a，b，c均为正数，若2a+2b+2c=m，求

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由关于x的不等式：|2x-m|≤1 可解得

m-1

2

≤x≤

m+1

2

．由于整数解有且仅有一个值为1，可得

0＜ m-1 2 ≤1 1≤ m+1 2 ＜2

，解出即可．
（2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．利用基本不等式的性质可得

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2c，

c2

a

+a≥2c，即可得出．

解答： 解：（1）由关于x的不等式：|2x-m|≤1 可得-1≤2x-m≤1，
解得 

m-1

2

≤x≤

m+1

2

．
由于整数解有且仅有一个值为1，
∴

0＜ m-1 2 ≤1 1≤ m+1 2 ＜2

，∴1＜m＜3．
故整数m的值为 2． 
（2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．
∵

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2c，

c2

a

+a≥2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+(a+b+c)≥2(a+b+c)，即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，当且仅当a=b=c时取等号
故

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

的最小值为1．

点评：本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．