Question

7．某同学在研究函数$f（x）=\frac{x}{|x|+2016}$时，得到以下几个结论：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）的值域是[-1，1]；
③函数f（x）在R上是增函数；
④函数g（x）=f（x）-m（m是常数）必有一个零点．
其中正确结论的序号为①③．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 充分利用题中的函数$f（x）=\frac{x}{|x|+2016}$解析式特点，研究函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、零点等，逐一分析各个选项的正确性．

解答 解：对于①，f（-x）=$\frac{-x}{|-x|+2016}$=-f（x），故函数f（x）是奇函数，故正确，
对于②函数f（x）的值域是（-1，1）；故不正确，
对于③设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2016（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+2016）（{x}_{2}+2016）}$＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又函数f（x）是奇函数，
∴函数f（x）在R上是增函数，故正确；
对于④令函数g（x）=f（x）-m=0，即f（x）=m，∵由函数的值域可知：-1＜f（x）＜1，
∴当m≥1或m≤-1时，无解，即函数g（x）=f（x）-m无零点；故不正确
故答案为：①③．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，函数值域及函数的零点．