Question

1．在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
（1）在圆x²+y²=r²（r＞0）中，AB为圆的任意一条直径，C为圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC的斜率k_AC、k_BC存在时，求k_AC•k_BC的值；
（2）在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$中，AB为过椭圆中心的任意一条弦，C为椭圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC的斜率k_AC、k_BC存在时，求k_AC•k_BC的值；
（3）直接写出椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$中类似的结论（不用证明）．

Answer 1

分析 （1）直线AC⊥BC，k_AC•k_BC的=-1
（2）设A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），则B（-x₁，-y₁），k_AC•k_BC=$\frac{y_0^2-y_1^2}{x_0^2-x_1^2}$，
又由$\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，两式相减得$\frac{{{x_0}^2-{x_1}^1}}{9}+\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{4}=0$，即可．

解答 解：（1）圆x²+y²=r²（r＞0）中，AB为圆的任意一条直径，C为圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC，
有直线AC⊥BC，k_AC•k_BC=-1…..（4分）；
（2）设A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），则B（-x₁，-y₁），k_AC•k_BC=$\frac{y_0^2-y_1^2}{x_0^2-x_1^2}$，
又由$\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，
两式相减得$\frac{{{x_0}^2-{x_1}^1}}{9}+\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{4}=0$，
所以k_AC•k_BC=$-\frac{4}{9}$…（9分）
（3）k_AC•k_BC=-$\frac{b^2}{a^2}$．…（12分）．

点评 本题考查了直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．