Question

如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=

3

，BD=AC=2
（Ⅰ）求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BD中点O，连结AO，CO，由已知得AO⊥BD，CO⊥BD，从而BD⊥平面AOC，由此能证明BD⊥AC．
（2）由勾股定理得AO=CO=

2

，∠AOC=90°，从而OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC的法向量和平面BCD的法向量，利用向量法求出二面角A-BC-D的平面角60°，由此能求出二面角A-BC-D的正切值．

解答： （1）证明：取BD中点O，连结AO，CO，
∵AB=BC=CD=DA=

3

，BD=AC=2，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，
又AC?平面AOC，∴BD⊥AC．
（2）解：∵AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，
AO=CO=

AB2-BO2

=

3-1

=

2

，
∴AO²+CO²=2+2=4=AC²，∴∠AOC=90°，
∴OA，OB，OC两两垂直，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，

2

），B（1，0，0），C（0，

2

，0），D（-1，0，0），

AB

=(1，0，-

2

)，

AC

=（0，

2

，-

2

），
设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AB =x- 2 z=0 n • AC = 2 y- 2 z=0

，取y=1，得

n

=（

2

，1，1），
又平面BCD的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角A-BC-D的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

1

2

，
∴θ=60°，∴tanθ=

3

，
∴二面角A-BC-D的正切值为

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．