题目内容

a2+4b2=5，求
1
a2
+
1
b2
的最值为多少？
考点：基本不等式
专题：计算题,不等式的解法及应用
分析：由a2+4b2=5，得到1=
a2+4b2
5
，则
1
a2
+
1
b2
=
1
5
（a2+4b2）（
1
a2
+
1
b2
）化简运用基本不等式，即可求出最小值，注意等号成立的条件．
解答： 解：∵a2+4b2=5，
∴1=
a2+4b2
5
，
∴
1
a2
+
1
b2
=
1
5
（a2+4b2）（
1
a2
+
1
b2
）=
1
5
（1+4+
a2
b2
+
4b2
a2
）≥
1
5
（5+2
a2
b2
•
4b2
a2
）=
9
5
，
故当且仅当a2=2b2，取最小值
9
5
．
点评：本题考查基本不等式的运用，注意运用常数代换法，同时必须注意基本不等式求最值的条件：一正二定三等，本题属于中档题，也是易错题．
练习册系列答案
相关题目
已知集合H是满足下列条件的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）幂函数f（x）=x-1是否属于集合H？请说明理由；
（2）若函数g（x）=lg
a
x2+1
∈H，求实数a的取值范围；
（3）证明：函数h（x）=2x+x2∈H．
已知函数f（x）=
1
2
x2-x+2alnx有两个极值点x1，x2且x1＜x2
（Ⅰ）求实数a的取值范围，并写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数并说明理由；
（Ⅲ）利用消元法表示出函数f（x2），利用导数研究函数f（x2）的单调性，即可证明不等式．
已知函数f（x）=
1
3
x3-ax2+4，且x=2是函数f（x）的一个极小值点．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值，并指出相应的x取值．
已知向量
a
=（cosx，cosx），
b
=（sinx，-cosx），设函数f（x）=2
a
•
b
+1
（Ⅰ）求函数 f（x）最的小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[
π
8
，
3π
4
]上的最小值和最大值．
已知函数f（x）=lnx+x2+mx．
（Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围．
设二次函数y=f（x）过原点，f（-1）=-4，且满足f（x）≤6x+2，数列{an}满足a1=
1
3
，an+1=f（an）
（1）确定函数y=f（x）的解析式；
（2）证明：an+1＞an．
已知f（x）=（2x-x2）ex，给出以下四个结论：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-
2
）是极小值，f（
2
）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值；
④f（x）有最大值，没有最小值．
其中判断正确的是
 
．
f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-20|，1≤x≤20，则f（1）=
 
，f（5）=
 
，f（20）=
 
，当x=
 
时，f（x）最小，最小值为
 
．

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