Question

已知指数函数y=g（x）满足g（-2）=

1

4

，又函数f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

是定义域为R的奇函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性（无需证明），并求函数f（x）的值域；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），由g（-2）=

1

4

，得a^-2=

1

4

，解得a=2．故g（x）=2^x．则f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

=

-2x+n

2x+1+m

，再根据函数是奇函数，求出m、n的值；
（2）f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

，易知f（x）=在R上是减函数．根据2^x＞0，推出-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，故函数f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）；
（3）对任意的t∈R不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，因此t²-2t＞k-2t²，化为k＜3t²-2t在t∈R上恒成立?k＜（3t²-2t）_min，此函数为二次函数，求出最值即可．

解答： 解：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（-2）=

1

4

，∴a^-2=

1

4

，解得a=2．∴g（x）=2^x．
∴f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

=

-2x+n

2x+1+m

，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴-2⁰+n=0，∴n=1，∴f（x）=

-2x+1

2x+1+m

又f（-1）=f（1），∴

-2-1+1

2-1+1+m

=-

-21+1

21+1+m

，解得m=2
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
（2）f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

，∴f（x）=在R上是减函数．
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，∴-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，
∴函数f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）；
（3）∵对任意的t∈R不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，
∴t²-2t＞k-2t²，化为k＜3t²-2t在t∈R上恒成立?k＜（3t²-2t）_min，t∈R．
令g（t）=3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

，∴g（t）_min=-

1

3

．
∴k＜-

1

3

，即实数k的取值范围是（-∞，-

1

3

）．

点评：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．