Question

如图E，F是正方形ABCD的边CD、DA的中点，今将△DEF沿EF翻折，使点D转移至点P处，且平面PEF⊥平面ABCEF
（1）若平面PAF∩平面PBC=l，求证：l∥BC；
（2）求直线BC与平面PAB所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面的基本性质及推论

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明AF∥平面PBC，再利用线面平行的性质证明l∥BC；
（2）利用V_P-ABC=V_C-PAB，求出C到平面PAB的距离，即可求直线BC与平面PAB所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：∵AF∥BC，AF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AF∥平面PBC，
∵AF?平面PAF，平面PAF∩平面PBC=l，
∴l∥BC；
（2）解：设正方形的边长为2，则
取EF的中点O，连接OA，OB，则
PO=

2

2

，OB=

3 2

2

，OA=

10

2

，
∴PA=

3

，PB=

5

，
∴cos∠APB=

3+5-4

2× 3 × 5

2

15

，
∴sin∠APB=

11

15

，
∴S_△PAB=

1

2

×

3

×

5

×

11

15

=

11

2

设C到平面PAB的距离为h，
∵V_P-ABC=V_C-PAB，
∴

1

3

×

1

2

×2×2×

2

2

=

1

3

×

11

2

h，
∴h=

2 2

11

，
∴直线BC与平面PAB所成的角的正弦值

h

2

=

22

11

．

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查直线BC与平面PAB所成的角的正弦值，正确运用线面平行的判定与性质，利用等体积计算C到平面PAB的距离是关键．