Question

5．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b-a的最小值为$\frac{13π}{3}$．

Answer 1

分析 根据函数零点的条件，求出相邻两个零点的间隔，进行求解即可．

解答 解：函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，
令f（x）=0，即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
解得：x=$\frac{π}{4}+kπ$或x=$\frac{7π}{12}+kπ$，（k∈Z）．
故相邻的零点之间的间隔依次为$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$．
y=f（x）在[a，b]上至少含有10个零点，等价于b-a的最小值为4×$\frac{2π}{3}$+5×$\frac{π}{3}$=$\frac{13π}{3}$．
故答案为：$\frac{13π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的对称性和函数零点的关系是解决本题的关键