Question

14．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁B₁中，AA₁=2AB=2AD=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．利用空间向量解决下列问题：
（1）证明：A₁C⊥平面BED；
（2）求锐二面角A₁-DE-B 的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明A₁C⊥平面BED．
（2）求出平面DA₁E的法向量和平面BED的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答 证明：（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．
$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4）．
∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DB}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}$=0，
故A₁C⊥BD，A₁C⊥DE，又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面BED．…（4分）
解：（2）设向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+4z=0}\end{array}\right.$．
令y=1，则$\overrightarrow{n}$=（4，1，-2）．…（6分）
cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{A}_{1}C}|}$=$\frac{\sqrt{14}}{42}$．
所以二面角A₁-DE-B的余弦值为大小为$\frac{{\sqrt{14}}}{42}$．…（8分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．