Question

已知函数f（x）=e^x，（x∈R）．
（1）求f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）证明：曲线y=f（x）与曲线y=

1

2

x²+x+1有唯一公共点；
（3）设a＜b，比较f（

a+b

2

）与

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用导数得出切线的斜率即可得出f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）令h（x）=f（x）-（

1

2

x²+x+1）=e^x-

1

2

x²-x-1，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出．
（3）利用作差法，再构造函数，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．

解答： （1）解：f′（x）=e^x，则f'（1）=e，f（x）点（1，e）处的切线方程为：y-e=e（x-1），y=ex；
（2）证明：令 h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1=ex-

1

2

x2-x-1，x∈R，则h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，h″（0）=0
因此，当x＜0时，h″（x）＜0，y=h′（x）单调递减；当x＞0时，h″（x）＞0，y=h′（x）单调递增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，所以y=h（x）在R上单调递增，又h（0）=0，即函数h（x）有唯一零点x=0，
所以曲线y=f（x）与曲线y=

1

2

x2+x+1有唯一公共点（0，1）；
（3）解：设a＜b，
f（

a+b

2

）-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-2+a)  +(b-2+a)eb-a•ea

2(b-a)

，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，∴

(b-2+a)  +(b-2+a)eb-a•ea

2(b-a)

＞0，
即f（

a+b

2

）＞

f(b)-f(a)

b-a

．

点评：本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．