已知O为坐标原点.椭圆C:$\frac{x^2}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.上顶点为P.右顶点为Q.以F1.F2为直径的圆O与椭圆C内切.直线PQ与圆O相交得到的弦长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)若直线l与以F1.F2为直径的圆O相切.并且与椭圆C交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知O为坐标原点，椭圆C：$\frac{x^2}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为P，右顶点为Q，以
F₁、F₂为直径的圆O与椭圆C内切，直线PQ与圆O相交得到的弦长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与以F₁、F₂为直径的圆O相切，并且与椭圆C交于不同的两点A、B，求△AOB的面积的最大值．

分析（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线PQ的方程：ay+bx-ab=0，则O到直线PQ的距离d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，由以F₁、F₂为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）讨论直线AB的斜率不存在，求得△ABO的面积，若存在设直线AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由圆O与直线l相切，得m²=k²+1．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值．

解答解：（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），
则直线PQ的方程：ay+bx-ab=0，
则O到直线PQ的距离d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由以F₁、F₂为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，
在△ODP中，根据勾股定理可知：
（$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=b²，①
由a²=b²+c²=2b²，②
由①②解得：b²=1，a²=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，AB过椭圆的焦点，
令x=1代入椭圆方程可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得|AB|=$\sqrt{2}$，S_△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）、
B（x₂，y₂），
∵圆O与直线l相切，
∵$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴m²=k²+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同的点，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，即m²-2k²＜1，
∴k²＞0．
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}（1+{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
令1+2k²=t（t＞1），可得k²=$\frac{t-1}{2}$，则S=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{\frac{t-1}{2}•\frac{t+1}{2}}}{t}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上可得，△AOB的面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．