题目内容
1．已知O为坐标原点，椭圆C：$\frac{x^2}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为P，右顶点为Q，以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，直线PQ与圆O相交得到的弦长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与以F1、F2为直径的圆O相切，并且与椭圆C交于不同的两点A、B，求△AOB的面积的最大值．
分析 （Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线PQ的方程：ay+bx-ab=0，则O到直线PQ的距离d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）讨论直线AB的斜率不存在，求得△ABO的面积，若存在设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），由圆O与直线l相切，得m2=k2+1．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值．
解答 
解：（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），
则直线PQ的方程：ay+bx-ab=0，
则O到直线PQ的距离d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，
在△ODP中，根据勾股定理可知：
（$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）2=b2，①
由a2=b2+c2=2b2，②
由①②解得：b2=1，a2=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，AB过椭圆的焦点，
令x=1代入椭圆方程可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得|AB|=$\sqrt{2}$，S△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、
B（x2，y2），
∵圆O与直线l相切，
∵$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴m2=k2+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同的点，
∴△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0，即m2-2k2＜1，
∴k2＞0．
由韦达定理可知：x1+x2=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}（1+{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
令1+2k2=t（t＞1），可得k2=$\frac{t-1}{2}$，则S=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{\frac{t-1}{2}•\frac{t+1}{2}}}{t}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上可得，△AOB的面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题主要考查椭圆的概念和性质，直线和椭圆的位置关系，圆的性质等知识，意在考查转化和化归思想，数形结合思想和学生的运算求解能力，是中档题．
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
| A． | 命题p∨q是假命题 | B． | 命题p∧q是真命题 | ||
| C． | 命题p∨（￢q）是假命题 | D． | 命题p∧（￢q）是真命题 |
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{5}{6}$ |