Question

已知关于x的方程

sinx

x

=k(k∈(0，1))在（-3π，0）∪（0，3π）内有且仅有4个根，从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄．
（1）求证：x₄=tanx_4．
（2）是否存在常数k，使得x₂，x₃，x₄成等差数列？若存在求出k的值，否则说明理由．

Answer 1

分析：将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．

解答：解：（1）由原方程得sinx=kx（x≠0），
设函数f（x）=sinx，g（x）=kx（x≠0），它们的图象如图所示：
方程得sinx=kx（x≠0）在（-3π，0）∪（0，3π）内有
且仅有4个根，x₄必是函数g（x）=kx与f（x）=sinx，
在(2π，

5π

2

)内相切时切点的横坐标，
即切点为（x₄，sinx₄），g（x）=kx是f（x）=sinx的切线．
由f'（x）=cosx，∴k=cosx₄，又∵sinx₄=kx₄，于是x₄=tanx₄．

（2）由题设知x₂=-x₃，又x₂，x₃，x₄成等差数列，得2x₃=x₂+x₄，∴x3=

1

3

x4．
由sinx₃=kx₃，得sin

1

3

x4=

1

3

kx4，即sinx4=3sin

1

3

x4．
由题设x4∈(2π，

5π

2

)，得

x4

3

∈(

2π

3

，

5π

6

)，
∴sin

x4

3

∈(

1

2

，

3

2

)，有3sin

x4

3

∈(

3

2

，

3 3

2

)，即sinx4∈(

3

2

，

3 3

2

)，与sinx₄＜1矛盾
故不存在常数k使得x₂，x₃，x₄成等差数列．

点评：数形结合是重要的数学思想，以形助数，直观简捷，从而利用函数图象可以进一步发现函数性质，并能利用函数图象解决实际问题．